1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

Os primeiros mil termos e somas parciais de 1 − 2 + 3 − 4 + …

Em matemática a expressão, 1 − 2 + 3 − 4 + … é uma série infinita cujos termos são números inteiros, que vão alternando seus sinais. Utilizando a notação matemática para adição, a soma dos m primeiros termos da série se expressa como:

A série infinita diverge, no sentido que a seqüência de suas somas parciais (1, −1, 2, −2, …) não tende a nenhum limite finito. De forma equivalente, poder-se-ia dizer que 1 − 2 + 3 − 4 + … não possui soma no sentido usual do termo.

Contudo, em meados do século XVIII, Leonhard Euler descobriu a seguinte relação qualificando-a de paradoxal:

Foi somente muito tempo depois, que se chegou a uma explicação rigorosa desta relação. Até o começo da década de 1890, Ernesto Cesàro e Émile Borel, entre outros, pesquisaram métodos bem definidos para atribuir somas generalizadas às séries divergentes – incluindo novas interpretações dos intentos realizados por Euler. Muitos destes métodos denominados da soma atribuem a (1 − 2 + 3 − 4 + …) uma "soma" de ¹⁄₄. O método da soma de Cesàro é um dos poucos métodos que não soma a série 1 − 2 + 3 − 4 + …, por isso, esta série é um exemplo de um caso onde deve utilizar-se um método mais robusto como, por exemplo, o método da soma de Abel.

A série 1 − 2 + 3 − 4 + … encontra-se relacionada com a série de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + …. Euler analisou estas duas séries como casos especiais de (1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + …) para valores de n aleatórios, uma linha de investigação que estende sua contribuição ao problema da Basiléia e conduz às equações funcionais do que conhecemos hoje como a função eta de Dirichlet e a função zeta de Riemann.

[Fonte: Wikipédia]